Chute des corps et expériences de pensée

Qui du corps léger ou du corps lourd, lâchés d’une même hauteur, atteint le sol en premier ?
Derrière cette question apparemment anodine, ou du moins l’a-t-on considérée comme telle pendant 2000 ans, se prépare une révolution scientifique qui sera l’acte fondateur de la physique moderne.


Sommaire

L’expérience de pensée
L’apport de Galilée
La Tour de Pise ?
Les équations du mouvement
Représentations graphiques
Textes de Galilée (extraits)

Pour Aristote, philosophe grec du IVe siècle av. J.-C., le corps lourd arrive au sol en premier car les vitesses de chute varient en proportion de la masse des corps. « Le gland tombe plus vite que la feuille de chêne » affirmait-il, et sur ce point l’expérience lui donnait raison. Aristote prétendait également que les vitesses de chute variaient en proportion inverse à la densité du milieu. Ainsi justifiait-il la différence de vitesse observée entre une bille chutant dans l’eau ou dans l’air. La conception d’Aristote comportait tout de même quelques failles. Elle n’expliquait pas par exemple pourquoi deux corps de même masse, mais de formes différentes, n’atteignaient pas le sol en même temps.

Ce n’est qu’au 17e siècle que l’édifice aristotélicien se fissura. L’année 1604 fut en effet pour Galilée, une véritable « annus mirabilis » à l’image de celle que connue Albert Einstein en 1905. Même s’il fut un grand expérimentateur, l’une des plus célèbres expériences de Galilée ne nécessita aucun matériel particulier. Loin d’être anecdotiques, ces « gedankenexperiment » ou « expériences de pensée » s’appuient sur des situations irréalisables en pratique, sortes de mises en scènes mentales, où seulement interviennent les idées et les raisonnements. Les expériences de pensée ne fournissent pas de résultats quantitatifs mais peuvent être assez puissantes pour faire apparaître au grand jour les contradictions d’une théorie

L’expérience de pensée

Supposons exacte la loi de chute des corps d’Aristote : un corps lourd tombe plus rapidement qu’un corps léger. Attachons par une corde une grande pierre et une pierre plus petite, et lâchons-les !
Que dit Aristote ? Puisque l’ensemble formé par les deux pierres est plus lourd que la plus grosse pierre, il tombe plus vite que la grosse pierre seule.
Cependant, comme la grosse pierre tombe plus vite que la petite, elle va tendre la corde qui les relie, si bien que la petite pierre freine la chute de la grosse, à la manière d’un parachute. La petite pierre ralentit donc la grosse pierre : l’ensemble formé des deux pierres tombe moins vite que la grosse pierre seule.

L’application de la loi de chute des corps d’Aristote aboutit donc à deux résultats contradictoires qui ne peuvent coexister.

1ère conclusion : l’ensemble tombe plus vite que la grosse pierre. 2ème conclusion : l’ensemble tombe moins vite que la grosse pierre. (Adapté de « Thus spoke Galileo », Frova & Marenzana, 2006)

Cette expérience de pensée passa à la postérité grâce à la parution en 1638 des « Discours concernant deux sciences nouvelles ». Ces deux sciences nouvelles sont « La mécanique et les mouvements locaux », c’est-à-dire, en langage moderne, la statique et la dynamique. Dans cet ouvrage, Galilée poursuit  ses  réflexions  entamées dans ses précédents textes. Ainsi qu’il l’avait fait en 1632 dans le « Dialogue sur les deux principaux systèmes du monde », Galilée met en scène trois interlocuteurs : Salviati, noble florentin et porte-parole de Galilée, Sagredo, noble vénitien neutre et curieux, et enfin Simplicio, partisan d’Aristote.

Salviati
Mais s’il en est ainsi, et s’il est vrai encore qu’une grande pierre se meut, par exemple, avec huit degrés de vitesse et une plus petite avec quatre degrés, il s’ensuivra, si on les attache, que l’ensemble se mouvra avec une vitesse inférieure à huit degrés ; or les deux pierres, réunies, forment une pierre plus grande que celle qui se mouvait avec huit degrés de vitesses, et la plus grande se meut par conséquent moins vite que la plus petite, ce qui va contre votre supposition. Vous voyez donc comment, si vous supposez qu’un mobile plus grave se meut plus vite qu’un mobile moins grave, j’en conclus, de mon côté, qu’un mobile plus grave se meut moins vite.

(Discours concernant deux sciences nouvelles, 1638)

L’apport de Galilée

Pour sortir de l’impasse, Galilée fait l’hypothèse que tous les corps doivent chuter à la même vitesse, indépendamment de leurs masses. Or, ce n’est pas ce que la nature nous présente : quand elles sont lâchées de suffisamment haut, la boule de pétanque touche le sol avant la boule de billard. Galilée soutient que la différence de vitesses observées dépend de facteurs extérieurs, en particulier de la résistance de l’air. Si celle-ci venait à être supprimée, dit autrement si les boules sont dans le vide, elles chuteraient à la même vitesse.

Adapté de « Thus spoke Galileo » (Frova & Marenzana, 2006)

Pour les partisans d’Aristote, le vide ne peut exister. Selon eux, la vitesse de chute est d’autant plus élevée que le milieu est ténu. Le vide, s’il existe, est infiniment plus ténu que tout autre milieu existant. Un corps se déplaçant dans le vide devrait donc s’y mouvoir instantanément, ce qui est impossible.
Galilée ne peut matériellement réaliser le vide. Il réalise des expériences de chute des corps dans des fluides de moins en mois denses et constate que les différences entre vitesses de chute diminuent d’autant. Par passage à la limite, il en conclut que les vitesses dans le vide doivent être identiques.

Salviati
Nous nous proposons de rechercher ce qui arriverait à des mobiles de poids très différents dans un milieu dont la résistance serait nulle (…) et si nous trouvons qu’effectivement des mobiles de poids spécifiques variables ont des vitesses de moins en moins différentes selon que les milieux sont de plus en plus aisés à pénétrer, qu’en fin de compte dans le milieu le plus ténu bien que non vide, et pour des poids très inégaux, l’écart des vitesses et très petit et presque insensible, alors nous pourrons admettre, me semble-t-il, avec une grande probabilité, que dans le vide les vitesses seraient toutes égales. (…)

Salviati
Nous avons vu que les différences de vitesse des mobiles de pesanteurs diverses deviennent beaucoup plus grandes à mesure que les milieux traversés offrent plus de résistance. Disons mieux : dans le vif argent (mercure), non seulement l’or coule au fond plus vite que le plomb, mais il est le seul à couler alors que les autres métaux et toutes les pierres restent à la surface et y flottent. En revanche, entre les balles d’or, de plomb, de cuivre, de porphyre et d’autres matières pesantes, l’inégalité de leurs vitesses dans l’air sera presque insensible, car une balle d’or, au bout d’une chute de 100 brasses, n’aura certainement pas devancé de quatre doigts une balle de cuivre. Ayant vu, dis-je, tout cela, j’en arriverai à cette opinion que si l’on éliminait complètement la résistance du milieu, tous les corps tomberaient à d’égales vitesses.

(Discours concernant deux sciences nouvelles, 1638)

D’autres difficultés surgissent lorsqu’il s’agit de comparer les vitesses de chute dans l’air. Ce sont en ces termes que Galilée les expriment sous les traits comme toujours de son personnage Salviati.

Salviati
L’expérience qui consiste à prendre deux mobiles de poids aussi différents que possible et à les lâcher d’une hauteur donnée pour observer si leurs vitesses sont égales, offre quelques difficultés. Car si la hauteur est importante, le milieu que le corps, en tombant, doit ouvrir et repousser latéralement, gênera beaucoup plus le faible élan (momento) du mobile le plus léger que la force considérable du plus lourd, et sur une longue distance le corps léger demeurera ainsi en arrière. Si en revanche la hauteur est brève, on doutera qu’il y ait quelque différence, ou, si elle existe, elle sera imperceptible.

(Discours concernant deux sciences nouvelles, 1638)

Ces lignes confortent ainsi l’idée que les expériences de chute réalisées par Galilée du sommet de la Tour de Pise relèvent plus probablement de la légende que d’une vérité historique (voir plus bas).
En effet, la chute d’un corps est trop rapide pour être observée et mesurée précisément. Galilée propose donc d’étudier les chutes ralenties : au lieu de les laisser tomber verticalement, il fait rouler des boules le long de plans inclinés pour en ralentir le mouvement de descente. En diminuant l’angle de la pente, il peut à loisir étudier des chutes de plus en plus ralenties.
Galilée reproduit plusieurs fois ces expériences et remarque que la durée mise pour effectuer le quart de la descente est égale à la moitié de la durée nécessaire à la descente complète.

Salviati
Dans une règle, ou plus exactement un chevron de bois, long d’environ 12 coudées, large d’une demi-coudée et épais de 3 doigts, nous creusions un petit canal d’une largeur à peine supérieur à un doigt, et parfaitement rectiligne ; après l’avoir garni d’une feuille de parchemin bien lustrée par le rendre aussi glissant que possible, nous y laissions rouler une boule de bronze très dure, parfaitement arrondie et polie. Plaçant alors l’appareil dans une position inclinée, en élevant l’une de ses extrémités d’une coudée ou deux au-dessus de l’horizon, nous laissions, comme je l’ai dit, descendre la boule dans le canal, en notant, selon une manière que j’exposerai plus loin, le temps nécessaire à une descente complète ; l’expérience était recommencée plusieurs fois afin de déterminer exactement la durée du temps, mais sans que nous découvrîmes jamais de différence supérieure au dixième d’un battement de pouls. La mise en place et cette première mesure étant accomplies, nous faisions descendre la même boule sur le quart du canal seulement : le temps mesuré était toujours rigoureusement égal à la moitié du temps précédent. Nous faisions ensuite varier l’expérience, en comparant le temps requis pour parcourir la longueur entière du canal avec le temps requis pour parcourir sa moitié, ou les deux tiers, ou les trois quarts, ou toute autre fraction ; dans ces expériences répétées une bonne centaine de fois, nous avons toujours trouvé que les espaces parcourus étaient entre eux comme les carrés des temps, et cela quelle que soit l’inclinaison du plan, c’est-à-dire du canal, dans lequel on faisait descendre la boule.

(Discours concernant deux sciences nouvelles, 1638)

Galilée a parfaitement compris le rôle de la résistance de l’air dans la chute des corps. Il est donc en mesure d’énoncer, toujours par l’intermédiaire de Salviati, une des conséquences de la résistance de l’air, connue aujourd’hui sous le nom de « vitesse terminale ».
Au moment de lâcher un objet, sa vitesse est nulle tout comme la résistance de l’air puisque l’objet est encore immobile. Une fois lâché, et au fur et à mesure que l’objet accélère, la résistance de l’air qu’il subit augmente, ce qui diminue son accélération. Après un certain temps, les frottements de l’air finissent par compenser le poids et l’objet cesse d’accélérer dans sa chute. L’accélération étant alors nulle, la vitesse de l’objet n’évolue plus, d’où le nom de « vitesse terminale » ou vitesse limite. Pour l’homme, la vitesse terminale dans l’atmosphère est de 195 km/h et n’est atteinte que pour une chute d’une altitude supérieure à 550 mètres.

Salviati
Si fluide, si ténu et si tranquille que soit le milieu, il s’oppose en effet au mouvement qui le traverse avec une résistance dont la grandeur dépend directement de la rapidité avec laquelle il doit s’ouvrir pour céder le passage au mobile. Et comme celui-ci par nature va en accélérant continuellement, ainsi que je l’ai dit, il rencontre de la part du milieu une résistance sans cesse croissante, d’où résulte un ralentissement et une diminution dans l’acquisition de nouveaux degrés de vitesse. Si bien qu’en fin de compte, la vitesse, d’une part, la résistance du milieu de l’autre, atteignent à une grandeur où, s’équilibrant l’une l’autre, toute accélération est empêchée, et le mobile réduit à un mouvement régulier et uniforme qu’il conserve par la suite.

(Discours concernant deux sciences nouvelles, 1638)

Adapté de « Thus spoke Galileo » (Frova & Marenzana, 2006)

Etienne Klein explique la loi de la chute des corps.

La Tour de Pise ?

Galilée a t-il réalisé des expériences de chute des corps depuis la sommet de la Tour de Pise ? Personne n’en sait rien, à tel point que quatre siècles plus tard cette question demeure toujours controversée.

Ecrit en 1654 par Vincenzo Viviani, le « Racconto istorico sulla vita di Galileo » est en quelque sorte une biographie du savant pisan. Elle se présentait, à l’origine, sous forme de lettres adressées au cardinal Léopold de Médicis et demeura ainsi inédite jusqu’en 1717. Viviani fut le plus jeune des disciples de Galilée. En 1639, alors âgé de 17 ans, il devient l’assistant du savant italien jusqu’à sa mort en 1642. Vivani hérita ainsi des manuscrits, documents et autres lettres de Galilée. Il se posera notamment comme un défenseur de la mémoire et des enseignements de son mentor.

La particularité du « Racconto » est d’être le seul écrit attestant des expériences de Galilée au sommet de la Tour et voit le jour, du moins sous sa forme épistolaire, 12 ans après le décès de Galilée.

En ce temps-ci (1589-1590), il fut convaincu que l’investigation des effets de la nature exige nécessairement une connaissance vraie de la nature du mouvement, conformément à l’axiome la fois philosophique et vulgaire ignorato motu ignoratur natura (celui qui ignore ce qu’est le mouvement, ignore ce qu’est la nature) ; c’est alors que, à la grande indignation de tous les philosophes, il démontra – à l’aide d’expériences, de preuves et de raisonnements exacts – la fausseté de très nombreuses conclusions d’Aristote sur la nature du mouvement ; conclusions qui, jusqu’alors, étaient tenues pour parfaitement claires et indubitables. Ainsi, entre autres, celle que les vitesses de mobiles de même matière, mais inégalement lourds et se mouvant à travers le même milieu, ne suivent aucunement la proportion de leur gravité, ainsi qu’il est dit par Aristote, mais se meuvent tous avec la même vitesse. Ce qu’il démontra par des expériences répétées, faites du sommet du clocher de Pise, en présence de tous les autres professeurs et philosophes de toute l’Université.


Vincenzo Viviani (Racconto istorico della vita di Galileo, p. 606)

Comme il était d’usage à l’époque, l’ouvrage avait avant tout pour vocation de célébrer la mémoire de Galilée au risque de quelques inexactitudes. Viviani commet ainsi une erreur de quatre jours sur la date de naissance de son maître.

Quelle peut être l’origine de cette évocation d’expériences depuis la Tour de Pise ? S’agit-il de propos rapportés par Galilée lui-même à son jeune disciple ou d’une anecdote élaborée pour renforcer la réputation du personnage ?
Douze ans après, et peut-être même plus, se peut-il que Viviani ait confondu des expériences mentionnées à titre d’exemples ou démonstrations avec des expériences réellement effectuées ?
De plus, si comme l’écrit Viviani tous les professeurs de l’Université assistèrent à la démonstration de Galilée, il est curieux qu’il n’y en ait mention que dans le « Racconto » de Viviani.

La toute première mention explicite d’une expérience depuis la Tour de Pise se trouve dans “Operetta intorno al galleggiare de corpi solidi” écrit en 1612, contre Galilée, par Giorgio Coresio, professeur de grec à l’Université de Pise. Coresio prétend d’avoir mené l’expérience

« du sommet du clocher de la cathédrale de Pise, confirmant les dires d’Aristote (…) que le corps le plus grand se déplace plus rapidement que le petit fait de la même matière, et que la vitesse croît de la même façon que croît la gravité ».

Une observation plus sérieuse sera réalisée près de trente ans plus tard.
Dans une lettre du 13 mars 1641, le tout jeune professeur de mathématiques de l’Université de Pise (1640), Vincenzo Renieri, fit savoir à Galilée :

« Nous avons eu ici l’occasion de faire une expérience avec deux corps pesants tombant d’une hauteur et faits de différentes matières, l’un en bois et l’autre en plomb, mais de la même grandeur ; parce qu’un certain Jésuite (Niccolò Cabeo) écrit qu’ils descendent en des temps égaux, et arrivent à terre avec des vitesses égales (…) Mais finalement, nous avons trouvé le contraire, parce que depuis le sommet du clocher de la cathédrale entre la balle de plomb et celle en bois il y avait une différence d’au moins trois brasses. Ils firent aussi d’autres expériences avec deux balles de plomb, l’une de grandeur égale à une ordinaire d’artillerie et l’autre d’un mousquet, et l’on voyait entre la plus grosse et la plus petite, du haut du même clocher, une bonne paume de différence, dont la plus grosse devançait la plus petite. »

Les équations du mouvement

On étudie le mouvement d’un mobile dans un référentiel lié au sol, considéré galiléen pendant la durée de chute. On considère que le mouvement de chute du mobile est strictement vertical et l’on utilisera un axe Oz vertical descendant avec origine O au point de départ de la chute (sans vitesse initiale).

  • Le mobile est soumis à son poids \vec{P} = m \vec{g}, force à distance exercée par la Terre sur lui.
  • Il est soumis aux forces de frottements de l’air (i.e résistance de l’air) \vec{f}, représentées par une force de contact.
  • En toute rigueur, le mobile est également soumis à la poussée d’Archimède \vec{P}_{A} car il est plongé dans un fluide (l’air) soumis à un champ de gravité.

Les frottements

Quand un mobile se déplace dans l’air, ou dans tout autre fluide pesant, il subit de la part de ce fluide une pression et un frottement dont la résultante qui s’exerce en sens opposé à son déplacement. L’intensité de cette force de frottements dépend de la vitesse, de la forme et de la taille du mobile.

Dans le cas de vitesses faibles (inférieures à 5 m/s dans l’air), la force de frottement est proportionnelle à la vitesse, \vec{f} = -k \vec{v} (frottements linéaires). La constante k dépend des caractéristiques de l’objet et de la nature du fluide dans lequel il évolue (ici l’air). Pour une sphère de rayon r (en mètres) plongée dans un fluide de viscosité \eta, on a k = 6 \pi \eta r (loi de Stokes). La viscosité (dynamique) de l’air, à 20 °C, est \eta_{air}= 1,8.10^{-5} Pa.s

Dans le cas de vitesses plus élevées (modèle de Newton), la force de frottement est proportionnelle au carré de la vitesse, \vec{f} = -k' v\vec{v} (frottements quadratiques). La constante k' s’écrit alors k' = \frac{1}{2} \rho S C_{x}\rho est la masse volumique du fluide, S l’aire du mobile selon la direction perpendiculaire à la vitesse, C_x le coefficient de trainée (nombre sans unité) et v la vitesse du mobile par rapport au fluide.

La poussée d’Archimède

Tout corps plongé dans un fluide au repos, entièrement mouillé par celui-ci ou traversant sa surface libre, subit une force verticale, dirigée de bas en haut et opposée au poids du volume de fluide déplacé ; cette force est appelée poussée d’Archimède.

\vec{P}_{A} = -  \vec{P}_{fd} = - m_{fd} \vec{g}
(f.d : fluide déplacé)

En notant \rho_{f} la masse volumique du fluide, on a :
\vec{P}_{A} = - \rho_{f} V_{fd}  \vec{g} =  - \rho_{f} V_{ci}  \vec{g}
(c.i : corps immergé)

Soit pour un corps sphérique de volume V = \frac{4}{3} \pi r^3
\vec{P}_{A} = - \frac{4}{3} \pi \rho_{f} r^3 \vec{g}

Cas des faibles vitesses

Appliquons la deuxième loi de Newton
\Sigma \vec{F} = m \vec{a} \Rightarrow \vec{P} + \vec{f} +  \vec{P}_{A} = m \vec{a} (1)

Expression du poids :
\vec{P} = m \vec{g} = \frac{4}{3} \pi \rho r^3 \vec{g} (pour un corps sphérique de rayon r et de masse volumique \rho

Expression de la résistance de l’air :
\vec{f} = - k \vec{v}

Expression de la poussée d’Archimède :
\vec{P}_{A} = - \frac{4}{3} \pi \rho_{f} r^3 \vec{g}

En remplaçant ces expressions dans (1), on obtient :
\frac{4}{3} \pi \rho r^3 \vec{g} - k \vec{v} - \frac{4}{3} \pi \rho_{f} r^3 \vec{g} = m \vec{a}

En projetant cette relation sur l’axe Oz vertical descendant, et en notant \frac{dv}{dt} = \dot{v}, on obtient :
\frac{dv_z}{dt} + \frac{k}{m} v_z = g \left(1-\frac{\rho_f}{\rho}\right)

Si, comme la plupart du temps, \rho >> \rho_f alors \frac{\rho_f}{\rho} \rightarrow 0

L’équation obtenue est une équation différentielle linéaire du 1er ordre, à coefficients constants.

Solution de l’équation différentielle

On néglige dans un premier temps la contribution de la poussée d’Archimède.

Solution de l’équation homogène (sans second membre)
L’équation \dot{v} + \frac{k}{m} v = 0 a pour solution v_h = A \exp \left(-\frac{k}{m}t\right)A est une constante à déterminer.

Solution particulière
Le second membre de l’équation différentielle est constant. Il faut donc chercher une solution particulière v_p = cste. On a alors :
\dot{v} + \frac{k}{m} v_p = g \Rightarrow v_p = \frac{mg}{k}

Vitesse en fonction du temps

La solution complète est donnée par v_z = v_h + v_p, d’où v_z = A \exp \left(-\frac{k}{m}t\right)+\frac{mg}{k}

A l’aide des conditions initiales, on peut écrire pour t=0 :
v_{t=0} = 0 = A+\frac{mg}{k} \Rightarrow A = -\frac{mg}{k}

Et l’on obtient : v_z (t) = \frac{mg}{k} \left[ 1-\exp \left(-\frac{k}{m}t\right)\right]

Si l’on réintroduit la poussée d’Archimède, cela revient à remplacer g par g \left(1-\frac{\rho_f}{\rho}\right)
D’où : v_z (t) = \frac{mg}{k}  \left(1-\frac{\rho_f}{\rho}\right) \left[ 1-\exp \left(-\frac{k}{m}t\right)\right]

Vitesse limite

Elle s’obtient en prenant la limite de v_{z} (t) quand t \to \infty :
v_{lim} = lim_{t \to \infty} v_{z} (t) = lim_{t \to \infty} \frac{mg}{k} \left[ 1-\exp \left(-\frac{k}{m}t\right)\right]
D’où v_{lim}=\frac{mg}{k}

En considérant la poussée d’Archimède : v_{lim}=\frac{mg}{k} \left(1-\frac{\rho_f}{\rho}\right)

Position en fonction du temps

En intégrant la fonction v_{z}(t), on obtient la fonction z(t) :
v_z (t) = \frac{mg}{k} \left[ 1-\exp \left(-\frac{k}{m}t\right)\right]

D’où : z(t) = -\frac{mg}{k} \left[    \frac{ \exp \left( -\frac{k}{m}t \right)  } {-\frac{k}{m}}\right] + \frac{mg}{k}t + cte
Puis z(t) = \frac{gm^2}{k^2} \left(\exp \left( -\frac{k}{m}t \right)\right) + \frac{gm}{k}t + cte

A t=0, z=0 (axe Oz vertical descendant), d’où cte = -\frac{gm^2}{k^2}
Et finalement : z(t)= \frac{gm^2}{k^2} \left(-1+\exp \left(-\frac{k}{m}t\right)\right)+\frac{gm}{k}t

En réintroduisant la poussée d’Archimède :
z(t)= -\frac{gm^2}{k^2}  \left(1-\frac{\rho_f}{\rho}\right) \left(1+\exp \left(-\frac{k}{m}t\right)\right)+\frac{gm}{k} \left(1-\frac{\rho_f}{\rho}\right) t

Cas des vitesses plus élevées

Les expressions du poids et la poussée d’Archimède sont inchangées par rapport au cas des vitesses faibles (voir plus haut). En revanche, la résistance de l’air prend désormais la forme (frottement quadratiques) :
\vec{f} = - k v \vec{v}

En remplaçant dans (1), on obtient :
\frac{4}{3} \pi \rho r^3 \vec{g} - k v \vec{v} - \frac{4}{3} \pi \rho_{f} r^3 \vec{g} = m \vec{a}

En projetant cette relation sur l’axe Oz vertical descendant, et en notant \frac{dv}{dt} = \dot{v}, on obtient :
\dot{v_z} + \frac{k}{m} v_z^2 = g \left(1-\frac{\rho_f}{\rho}\right)

Cette équation est une équation différentielle non linéaire, plus difficile à résoudre.

Solution de l’équation différentielle

Pour ne pas trop alourdir la notation, on notera v_z = v. L’équation s’écrira donc : \dot{v} + \frac{k}{m} v^2 = g.
Cette équation est une équation dite de Riccati, en l’honneur du physicien et mathématicien italien Jacopo Riccati (1676-1754) et de son fils Vincenzo Riccati (1707-1775) qui l’étudièrent.

Le second membre de l’équation différentielle est constant. Il faut donc chercher une solution particulière v_p = cste. On a alors :
\dot{v} + \frac{k}{m} v_p^2 = g \rightarrow v_p = \sqrt{\frac{mg}{k}}

La solution générale s’écrira donc v= v_h + v_pv_h est la solution de l’équation homogène (sans second membre) et v_p une solution particulière.

En remplaçant v par v_h + v_p dans l’équation de Riccati, on obtient :
\dot{v_h} + \frac{k}{m} \left(v_h^2 + \frac{mg}{k} + 2 v_h \sqrt{\frac{mg}{k}}\right)- g = 0
\dot{v_h} + \frac{k}{m} v_h^2 + 2 v_h \sqrt{\frac{gk}{m}}= 0
\dot{v_h} + 2 v_h \sqrt{\frac{gk}{m}}= -\frac{k}{m} v_h^2

Divisons l’expression ci-dessus par v_h^2
\frac{\dot{v_h}}{v_h^2}+\frac{2}{v_h}\sqrt{\frac{gk}{m}}=-\frac{k}{m}

On pose Y = 1/v_h, on a :
\dot{Y}-2Y\sqrt{\frac{gk}{m}}= \frac{k}{m}
C’est une équation dite de Bernoulli qui fut le premier à l’étudier dans le domaine de la mécanique des fluides.

La solution générale de l’équation précédente  s’écrit : Y = Y_h+Y_p. La solution de l’équation homogène (sans second membre) s’obtient ainsi :
\dot{Y_{h}}-2Y_{h}\sqrt{\frac{gk}{m}}=0, soit Y_h = A \exp\left(2\sqrt{\frac{gk}{m}}t\right)A est une constante à déterminer.

Le second membre étant une constante, on cherche une solution particulière constante : Y_p=cte
Y_p = cte \Rightarrow Y_p = -\frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{mg}}

D’où la solution générale : Y(t) = A \exp \left(2\sqrt{\frac{gk}{m}}t\right)-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{mg}}

Vitesse en fonction du temps

Précédemment, nous avons établi que v= v_h+\sqrt{\frac{mg}{k}}=\frac{1}{Y}+\sqrt{\frac{mg}{k}} car v_h=1/Y. En remplaçant par l’expression de Y(t) trouvée ci-dessus, on arrive à :

v = \frac{\frac{1}{2}+A\sqrt{\frac{mg}{k}}\exp\left( 2\sqrt{\frac{gk}{m}t}\right)}{A\exp\left( 2\sqrt{\frac{gk}{m}t}\right)-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{mg}}}

A t=0, v=0, d’où A = -\frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{mg}}, si bien que :

v(t) =\sqrt{\frac{mg}{k}} \left(\frac{1-\exp\left( 2\sqrt{\frac{gk}{m}t}\right)}{1+\exp\left( 2\sqrt{\frac{gk}{m}t}\right)}\right)

soit v(t) =\sqrt{\frac{mg}{k}} \tanh\left(\sqrt{\frac{gk}{m}t}\right)

Lorsque l’argument de \tanh est petit, c’est-à-dire si la constante k de la résistance de l’air est faible, ou si la masse m est grande, on peut remplacer \tanh par son développement limité : \tanh(x) = x - \frac{x^3}{3} + ... .

D’où v \sim \sqrt{\frac{mg}{k}} \sqrt{\frac{gk}{m}}t \rightarrow v \sim gt

En considérant la poussée d’Archimède :
v(t) =\sqrt{\frac{mg}{k}\left(1-\frac{\rho_f}{\rho}\right)} \tanh\left(\sqrt{\frac{gk}{m}\left(1-\frac{\rho_f}{\rho}\right)t}\right)

Vitesse limite

Elle s’obtient en prenant la limite de v(t) quand t \to \infty :
v_{lim} = lim_{t \to \infty} v(t) = lim_{t \to \infty} \sqrt{\frac{mg}{k}} \tanh\left(\sqrt{\frac{gk}{m}t}\right)

D’où v_{lim} = \sqrt{\frac{mg}{k}} car lim_{x \to \infty} \tanh(x)=1

En tenant compte de la poussée d’Archimède, il vient :
v_{lim} = \sqrt{\frac{mg}{k}\left(1-\frac{\rho_f}{\rho}\right)}

Position en fonction du temps

En intégrant la fonction v(t), on obtient la fonction z(t) :
z(t)=\sqrt{\frac{mg}{k}}\left[\frac{\ln\left(\cosh\left(\sqrt{\frac{gk}{m}}t\right)\right)}{\sqrt{\frac{gk}{m}}}\right]+cte
z(t)=\frac{m}{k}\ln\left[\cosh\left(\sqrt{\frac{gk}{m}}t\right)\right]+cte

A t=0, z=0 (axe Oz vertical descendant), d’où cte=0

Lorsque l’argument de \cosh est petit, c’est-à-dire si la constante k de la résistance de l’air est faible, ou si la masse m est grande, on peut remplacer \cosh par son développement limité : \cosh(x) = 1 + \frac{x^2}{2!} + ...

De plus, comme \ln(1+X)= X-\frac{X^2}{2}+\frac{X^3}{3}+..., il vient :
\ln \left(1+\frac{x^2}{2!}\right) \sim \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{8} \sim  \frac{x^2}{2}

D’où \ln\cosh\left(\frac{gk}{m}t\right) \sim \frac{gk}{2m}t et z(t) \sim \frac{1}{2} gt^2

En tenant compte de la poussée d’Archimède, il vient :
z(t)=\frac{m}{k}\ln\left[\cosh\left(\sqrt{\frac{gk}{m}\left(1-\frac{\rho_f}{\rho}\right)}t\right)\right]

Durée de chute

A partir de l’expression z(t), on peut calculer la durée de chute du mobile de masse m :
z(t) = \frac{m}{k}\ln\left[\cosh\left(\frac{gk}{m}t\right)\right]
\frac{k}{m}z(t) = \ln\left[\cosh\left(\frac{gk}{m}t\right)\right]
\exp\left(\frac{k}{m}z\right) = \cosh\left(\frac{gk}{m}t\right)

D’où : t = \sqrt{\frac{m}{gk}} \cosh^{-1} \left[\exp\left(\frac{k}{m}z\right)\right]

Et en tenant compte de la poussée d’Archimède : t = \sqrt{\frac{m}{gk\left(1-\frac{\rho_f}{\rho}\right)}} \cosh^{-1} \left[\exp\left(\frac{k}{m}z\right)\right]

(N.B : \cosh^{-1} représente la fonction argument cosinus hyperbolique, fonction réciproque de \cosh, et non pas l’inverse de \cosh)

Cette expression dépend de la masse m du mobile et du coefficient de frottements k.
En raison des frottements de l’air, deux mobiles de masses différentes (mais de formes et textures identiques) lâchés sans vitesse initiale d’une même hauteur n’atteignent pas le sol simultanément.

Soient M et M' deux mobiles de masses respectives m et m' telles que m' < m
1/m' > 1/m
kz/m' > kz/m
\exp (kz/m') > \exp (kz/m) (la fonction \exp est croissante)
\cosh^{-1}\left[\exp (kz/m')\right] > \cosh^{-1}\left[\exp (kz/m)\right] (la fonction argument cosinus hyperbolique est croissante)

D’où :
\sqrt{\frac{m'}{gk}} \cosh^{-1} \left[\exp\left(\frac{k}{m'}z\right)\right] >  \sqrt{\frac{m}{gk}} \cosh^{-1} \left[\exp\left(\frac{k}{m}z\right)\right]

D’où : t' > t, le mobile M, plus pesant, arrive au sol en premier.

Quel cas choisir ?

Comment savoir s’il faut considérer une force de frottement, due à la résistance de l’air, de type \vec{f} = - k\vec{v} (frottements linéaires) ou de type \vec{f} = - kv\vec{v} (frottements quadratiques).
Il faut pour cela faire appel à la mécanique des fluides. En effet, il est équivalent de considérer soit le mobile se déplaçant dans un fluide (l’air), soit le fluide s’écoulant autour du mobile fixe. Pour caractériser un écoulement, et en particulier la nature de son régime (laminaire, transitoire, turbulent), on utilise un nombre sans dimension appelé nombre de Reynolds.

Re = \frac{\rho_{f} v L}{\eta}

\rho_{f} est la masse volumique du fluide en kg/m^3
v est la vitesse du fluide en m/s
L est la dimension caractéristique de l’objet en m
\eta est la viscosité dynamique du fluide en Pa.s ou kg/(m.s)

Coefficient de trainée Cx d’une sphère

ConditionExpression
Ecoulement de Stokes Re < 1C_x = \frac{24}{Re}
Ecoulement intermédiaire (Van Allen) 1 < Re < 10^3 C_x = \frac{18,5}{Re^{0,6}}
Sillage turbulent (Newton) 10^3 < Re < 3.10^5 C_x = 0,5

Représentations graphiques

Reprenons les expressions trouvées précédemment pour la vitesse, la position et la durée de chute.

Vitesse : v(t) =\sqrt{\frac{mg}{k}} \tanh\left(\sqrt{\frac{gk}{m}t}\right)
Position : z(t)=\frac{m}{k}\ln\left[\cosh\left(\sqrt{\frac{gk}{m}}t\right)\right]
Durée de chute : t = \sqrt{\frac{m}{gk}} \cosh^{-1} \left[\exp\left(\frac{k}{m}z\right)\right]

Pour une boule de rayon r, de masse volumique \rho et tombant dans une fluide (air) de masse volumique rho_f, le rapport k/m présent dans les expressions ci-dessus peut se réécrire :

\frac{k}{m} = \frac{(1/2) C_x \rho_f \pi r^2}{(4/3) \pi \rho r^3}= \frac{3 C_x \rho_f}{8 \rho r}=\frac{K}{r}K = \frac{3 C_x \rho_f}{8 \rho}

Les expressions se réécrivent donc :
Vitesse : v(t) =\sqrt{\frac{rg}{K}} \tanh\left(\sqrt{\frac{gK}{r}t}\right)
Position : z(t)=\frac{r}{K}\ln\left[\cosh\left(\sqrt{\frac{gK}{r}}t\right)\right]
Durée de chute : t = \sqrt{\frac{r}{gK}} \cosh^{-1} \left[\exp\left(\frac{K}{r}z\right)\right]

Dans la suite, on prend pour masse volumique de l’air : \rho_{air} = 1,225 kg/m^3

1er cas : boules de compositions identiques et de masses différentes

Boule n°1Boule n°2
CompositionPlomb (\rho = 11350 kg/m^3)Plomb (\rho = 11350 kg/m^3)
Massem_1 = 0,4 kgm_2 = 40 kg
Rayonr_1 = 2,034 cm r_2 = 9,440 cm
Fig. 1 : Vitesse en fonction du temps
  • Sur un intervalle de temps plus grand, on constate que les vitesses terminales des deux boules sont très différentes (voir).
Fig. 2 : Position en fonction du temps
  • La différence de position entre les deux boules devient plus sensible dès 6 secondes de chute environ (voir).
Fig.3 : Durée de chute en fonction de la hauteur
  • Différence de durées de chute pour des hauteurs plus élevées (voir).

La boule n°2, cent fois plus massive que la première, a une vitesse de chute supérieure (fig.1) et devance par conséquent la boule n°1 (fig.2). Toutefois, même si elles sont lâchées d’une hauteur de plusieurs dizaines mètres, la durée de chute des deux boules ne diffère que de très peu (fig. 3).

2e cas : boules de tailles identiques et de compositions différentes

Boule n°1Boule n°2
Boule en bois (peuplier)Boule en plomb
Rayonr = 7,4 cmr = 7,4 cm
Masse volumique \rho_1 = 390 kg/m^3 \rho = 11350 kg/m^3
Massem_1 = 0,662 kg m_2 = 19,265 kg
Fig.4 : Vitesse en fonction du temps
  • La boule légère atteint la vitesse terminale plus rapidement que la boule lourde, mais sa valeur est bien plus faible (voir).
Fig. 5 : Position en fonction du temps
Fig. 6 : Durée de chute en fonction du temps
  • La différence de durée de chute devient sensible au-delà d’une hauteur d’environ 100 m (voir).

Ces graphiques indiquent que Galilée, même s’il avait réalisé des expériences de chute des corps depuis la Tour de Pise, n’aurait très certainement pas réussi à mesurer des différences de durées aussi brèves.

Textes de Galilée (extraits)

Discours concernant deux sciences nouvelles (1638)

Traduction, notes et index par Maurice Clavelin (Presses universitaires de France).

Première journée

Salviati
Quel large champ de réflexions me paraît ouvrir aux esprits spéculatifs la fréquentation assidue de votre fameux arsenal, seigneurs Vénitiens, et particulièrement le quartier des « travaux mécaniques » . Toutes sortes d’instruments et de machines y sont en effet constamment mis en œuvre par un grand nombre d’artisans dont certains, tant par les observations que leurs prédécesseurs leur ont léguées que par celles qu’ils font sans cesse eux-mêmes, allient nécessairement la plus grande habileté au jugement le plus pénétrant.

Sagredo
Rien n’est plus vrai ; curieux de nature, je vais souvent, moi aussi, pour mon plaisir, visiter ces lieux et me mêler à ceux que pour leur supériorité sur les autres ouvriers nous appelons des « maîtres » ; leur conversation m’a plus d’une fois aidé à chercher l’explication de certains faits non seulement étonnants, mais encore mystérieux et quasi inimaginables. Parfois aussi, à vrai dire, ils m’ont confondu et mis au désespoir de comprendre comment pouvait se produire, en l’absence de toute raison apparente, ce que mes sens me prouvaient être vrai.
[Op. Cit. p. 7]

Salviati
Je ne manquerai pas de vous satisfaire si seulement ma mémoire veut bien se rappeler l’enseignement de notre Académicien, auteur en ce domaine de nombreuses propositions, toutes accompagnées, selon son habitude, de leurs démonstrations géométriques, si bien que l’on pourrait, non sans raison, dire qu’elles constituent une science nouvelle ; …
[Op. Cit. p. 11]

Simplicio
Aristote, pour autant qu’il m’en souvienne, s’élève contre certains anciens qui introduisaient le vide à cause du mouvement, disant que celui-ci ne pourrait avoir lieu sans celui-là. S’opposant à cette thèse, Aristote démontre que tout au contraire la réalité du mouvement (et nous la constatons) rend le vide impossible. Développant son argumentation, il fait d’abord deux suppositions : la première concerne des mobiles de poids différents, se mouvant dans le même milieu, et la seconde un même mobile se mouvant dans différents milieux. Dans le premier cas il admet que des mobiles de poids différents se meuvent dans le même milieu avec des vitesses inégales ayant entre elles même proportion que les poids ; en sorte, par exemple, qu’un mobile dix fois plus lourd qu’un autre, descendra dix fois plus vite. Dans le second cas il admet que les vitesses du même mobile dans différents milieux sont inversement proportionnelles à l’épaisseur ou densité de ces milieux ; si l’on prête ainsi à l’eau une densité dix fois supérieure à celle de l’air, il veut que dans l’air la vitesse soit dix fois plus rapide que dans l’eau. De cette seconde supposition il tire alors la démonstration suivante : puisque la ténuité du vide diffère infiniment de la corporéité, si subtile soit-elle, de n’importe quel milieu plein, un mobile qui dans un milieu plein parcourt une certaine distance en un certain temps devrait dans le vide se mouvoir instantanément ; or le mouvement instantané est impossible ; donc on ne peut introduire le vide à cause du mouvement.

Salviati
Il est clair qu’il s’agit d’un argument ad hominem, c’est-à-dire dirigé contre ceux pour qui le vide était nécessaire au mouvement : je puis donc considérer l’argument comme concluant et admettre en même temps que le mouvement n’aurait pas lieu dans le vide, sans que soit détruite l’hypothèse du vide, prise absolument, et sans rapport avec le mouvement. Mais pour vous dire ce que ces anciens pourraient répondre le cas échéant, et afin de mieux percevoir jusqu’à quel point la démonstration d’Aristote est valable, il me semble que l’on peut s’élever contre ses suppositions et les nier toutes deux. Pour la première je doute qu’Aristote ait jamais vérifié expérimentalement s’il est vrai que deux pierres, dont l’une est dix fois plus pesante que l’autre et qu’on laisse tomber au même instant d’une hauteur de cent coudées, par exemple, aient des vitesses si différentes que la plus grande touche déjà terre alors que l’autre n’a même pas descendu dix coudées.

Simplicio
On voit pourtant d’après ses propres paroles qu’il a fait l’expérience puisqu’il dit : Nous voyons le plus lourd ; ce verbe « voir » indique le recours à l’expérience.

Sagredo
Mais moi, qui en ai fait l’essai, seigneur Simplicio, je vous assure qu’un boulet d’artillerie pesant cent ou deux cents livres, ou même davantage, ne précédera même pas d’une palme, en touchant terre, une balle de mousquet dont le poids n’excède pas une demi-libre, et cela après une chute commune de deux cents coudées.

Salviati
On peut d’ailleurs prouver sans autres expériences, à l’aide d’une démonstration brève et concluante, qu’un mobile plus pesant ne se meut pas plus rapidement qu’un mobile moins pesant, à condition que leur matière soit identique et qu’ils soient, en somme, semblables à ceux dont parle Aristote. Dites-moi donc, seigneur Simplicio, si vous admettez qu’un corps grave, lorsqu’il tombe, a une vitesse naturellement déterminée, c’est-à-dire telle qu’elle ne peut être augmentée ni diminuée sinon par violence ou par quelque obstacle.

Simplicio
Il n’est pas douteux que le m^me mobile dans le même milieu a une vitesse fixée et déterminée par nature, qui ne peut être augmentée sinon en lui conférant un nouvel impeto, ni diminuée sinon en le ralentissant par quelque obstacle.

Salviati
Si donc nous avions deux mobiles possédant des vitesses naturelles inégales, il est clair qu’en attachant le plus lent au plus rapide la vitesse de celui-si serait partiellement ralentie par le plus lent, et celle du plus lent partiellement accrue par le plus rapide. N’êtes-vous pas d’accord avec moi sur ce point ?

Simplicio
Il ne peut, à mon avis en aller autrement.

Salviati
Mais s’il en est ainsi, et s’il est vrai encore qu’une grande pierre se meut, par exemple, avec huit degrés de vitesse et une plus petite avec quatre degrés, il s’ensuivra, si on les attache, que l’ensemble se mouvra avec une vitesse inférieure à huit degrés ; or les deux pierres, réunies, forment une pierre plus grande que celle qui se mouvait avec huit degrés de vitesses, et la plus grande se meut par conséquent moins vite que la plus petite, ce qui va contre votre supposition. Vous voyez donc comment, si vous supposez qu’un mobile plus grave se meut plus vite qu’un mobile moins grave, j’en conclus, de mon côté, qu’un mobile plus grave se meut moins vite.


Simplicio
Votre raisonnement est fort bien conduit, en vérité ; cependant, il me semble difficile de croire qu’une larme de plomb puisse tomber aussi vite qu’un boulet de canon.

Salviati
Vous devriez dire : un grain de sable qu’une meule de moulin. Mais je ne voudrais pas, seigneur Simplicio, qu’à l’instar de beaucoup d’autres, vous fassiez dévier notre discussion de son but principal pour vous attacher à une de mes paroles qui s’écarterait d’un cheveu de la vérité, et ainsi dissimuler sous ce cheveu l’insuffisance de tel autre, grosse comme un câble de navire. Aristote dit qu’une « boule de fer de cent livres, tombant de cent coudées, touche terre avant qu’une boule d’une livre ait parcouru une seule coudée », et je vous dis, moi, qu’elles arrivent en même temps ; vous constatez, en faisant l’expérience, que la plus grande précède la plus petite de deux doigts, c’est-à-dire que quand celle-là frappe le sol, celle-ci s’en trouve encore à deux doigts ; or, derrière ces deux doigts vous voudriez cache les quatre-vingt-dix-neuf coudées d’Aristote, et, parlant seulement de ma petite erreur, passer sous silence l’énormité de l’autre. Aristote déclare que des mobiles de poids différents se meuvent dans le même milieu (et pour autant que le mouvement dépend du poids) avec des vitesses proportionnelles à leurs poids, et il illustre son affirmation avec des mobiles où la pure action de la gravité est seule perceptible, laissant de côté, comme peu importants, d’autres facteurs tels que les formes des mobiles, sur lesquels l’action du milieu peut être assez forte pour altérer l’effet de la seule gravité ; et de fait on observe que l’or, le plus pesant de tous les corps, flotte dans l’air lorsqu’il est transformé en minces feuilles, ce que font également des pierres réduites en une fine poussière. Mais soit vous voulez conserver à la proposition son universalité, vous devez montrer que la proportion des vitesses se retrouve dans tous les corps, et qu’une pierre de vingt livres se meut dix fois plus vite qu’une pierre de deux livres; ce qui, je vous le dis, est faux, car tombant d’une hauteur de cinquante ou de cent coudées, elles arrivent à terre en même temps.
[Op. Cit. pp. 53-56]

Système de mesures alors en usage à Florence
– coudée : 0,573 m
– palme : 1/3 de coudée
– mille : 1 653,607 m
– denier : 1,179 g
– once : 28,295 g
– livre : 339,542 g

Simplicio
Voilà une bien grande affirmation, seigneur Salviati. Je ne croirai jamais, pour ma part, que même dans le vide, si le mouvement y était possible, un flocon de laine tomberait aussi vite qu’un morceau de plomb.

Salviati
Doucement, seigneur Simplicio : votre difficulté n’est pas à ce point inattendue, ni mon imprudence telle, qu’il faille croire qu’elle m’ait échappé et que je ne lui aie donc pas trouvé de réponse. Aussi écoutez le raisonnement qui me justifiera et vous éclairera. Nous nous proposons de rechercher ce qui arriverait à des mobiles de poids très différents dans un milieu dont la résistance serait nulle, c’est-à-dire tel que l’inégalité constatée entre les vitesses des mobiles devrait être rapportée tout entière à l’inégalité des poids ; seul un espace absolument vide d’air et de tout autre corps, si ténu et si aisé à pénétrer soit-il, pourrait nous rendre perceptible ce nous voulons découvrir : comme un tel espace ne nous est pas donné, nous observerons ce qui se produit dans les milieux les plus subtils et moins résistants par comparaison avec les milieux moins subtils et plus résistants ; et si nous trouvons qu’effectivement des mobiles de poids spécifiques variables ont des vitesses de moins en moins différentes selon que les milieux sont de plus en plus aisés à pénétrer, qu’en fin de compte dans le milieu le plus ténu bien que non vide, et pour des poids très inégaux, l’écart des vitesses et très petit et presque insensible, alors nous pourrons admettre, me semble-t-il, avec une grande probabilité, que dans le vide les vitesses seraient toutes égales.
[Op. Cit. p. 61]

Salviati
L’expérience qui consiste à prendre deux mobiles de poids aussi différents que possible et à les lâcher d’une hauteur donnée pour observer si leurs vitesses sont égales, offre quelques difficultés ; car si la hauteur est importante, le milieu que le corps, en tombant, doit ouvrir et repousser latéralement par son impeto, gênera beaucoup plus le faible moment du mobile le plus léger que la force considérable du plus lourd, et sur une longue distance le corps léger demeurera ainsi en arrière ; si en revanche la hauteur est brève, on doutera qu’il y ait quelque différence, ou, si elle existe, elle sera imperceptible. J’ai donc pensé qu’on pourrait répéter plusieurs fois une courte descente et du même coup accumuler un nombre assez grand de ces brefs intervalles de temps qui s’intercalent entre l’arrivée du corps lourd et du corps léger, pour que pris ensemble ils constituent un temps non seulement observable, mais aisément observable. D’autre part, pour disposer de mouvements aussi lents que possible, où la résistance du milieu altérerait moins l’effet de la seule gravité, j’ai pensé à faire descendre les mobiles le long d’un plan incliné, peu élevé au-dessus de l’horizontale, car on perçoit sur un tel plan incliné, non moins qu’avec une trajectoire perpendiculaire, l’effet dû aux différences de poids ; mais poussant plus loin, j’ai encore voulu me débarrasser du frottement qu’engendrerait le contact des mobiles sur le plan incliné. En fin de compte j’ai pris deux boules, l’une de plomb et l’autre de liège, celle-là au moins cent fois plus lourde que celle-ci, puis j’ai attaché chacune d’elles à deux fils très fins, longs tous deux de quatre ou cinq coudées ; les écartant alors de la position perpendiculaire, je les lâchais en même temps, et celles-ci, suivant les circonférences des cercles ayant les fils égaux pour rayons, dépassaient la perpendiculaire pour remonter de l’autre côté, par la même voie ; une bonne centaine d’allées et venues, accomplies par les boules elles-mêmes, m’ont clairement montré qu’entre la période du corps pesant, et celle du corps léger, la coïncidence est telle que sur mille vibrations comme sur cent, le premier n’acquiert sur le second aucune avance, fût-ce la plus minime, mais que tous deux ont un rythme de mouvement rigoureusement identique. On observe également l’action du milieu qui, en gênant le mouvement, ralentit bien davantage les vibrations du liège que celles du plomb, sans toutefois modifier leur fréquence ; même si les arcs décrits par le liège n’ont plus que cinq ou six degrés, contre cinquante ou soixante pour le plomb, ils sont en effet traversés en des temps égaux.
[Op. Cit. pp. 69-70]

Troisième journée

Nous apportons sur le sujet le plus ancien une science absolument nouvelle. Il n’est peut-être rien dans la nature d’antérieur au mouvement, et les traités que lui ont consacrés les philosophes ne sont petits ni par le nombre ni par le volume ; pourtant, parmi ses propriétés, nombreuses et dignes d’être connues sont celles qui, à ma connaissance, n’ont encore été ni observées ni démontrées. Certaines, plus apparentes, ont été remarquées, tel le fait que le mouvement naturel des graves, en chute libre, est continuellement accéléré ; selon quelle proportion, toutefois, se produit cette accélération, on ne l’a pas établi jusqu’ici… On a observé que les corps lancés, ou projectiles, décrivent une courbe d’un certain type ; mais que cette courbe soit une parabole, personne ne l’a mis en évidence. Ce sont ces faits, et d’autres non moins nombreux et dignes d’être connus, qui vont être démontrés, et ainsi ce que j’estime beaucoup plus important – ouvrir l’accès à une science aussi vaste qu’éminente, dont mes propres travaux marqueront le commencement et dont des esprits plus perspicaces que le mien exploreront les parties les plus cachées.
[Op. Cit. p. 125]

Quand donc j’observe qu’une pierre tombant d’une certaine hauteur à partir du repos acquiert successivement de nouvelles augmentations de vitesse, pourquoi ne croirais-je pas que ces additions ont lieu selon la proportion la plus simple et la plus évidente ? Or, tout bien considéré, nous ne trouverons aucune addition, aucune augmentation plus simple que celle qui toujours vient s’ajouter de la même façon. Ce que nous comprendrons aisément en considérant l’étroite affinité entre le temps et le mouvement : que même en effet que l’uniformité du mouvement se définit et se conçoit grâce à l’égalité des temps et des espaces (nous appelons un mouvement uniforme quand des espaces égaux son franchis en des temps égaux), e même nous pouvons concevoir que dans un intervalle de temps semblablement divisé en parties égales des accroissements de vitesse aient lieu simplement ; ce qui sera le cas si par « uniformément « , et, du même coup, « continuellement » accéléré nous nous représentons un mouvement où en des temps égaux quelconques se produisent des additions égales de vitesse.
[Op. Cit. p. 131]

Simplicio
J’ai pris plus de plaisir à ce raisonnement facile et évident du seigneur Sagredo qu’à la démonstration, pour moi plus obscure, de l’Auteur ; et je suis bien convaincu que les choses doivent se passer ainsi, une fois énoncée et acceptée la définition du mouvement uniformément accéléré. Mais que l’accélération dont se sert la nature dans le mouvement de chute des graves soit bien telle, je persiste à en douter : il serait don opportun, me semble-t-il, pour m’éclairer et aussi tous ceux qui pensent comme moi, de rapporter maintenant l’une de ces nombreuses expériences qui, avez-vous dit, concordent de différentes manières avec les conclusions démontrées.

Salviati
Votre demande, qui est d’un véritable homme de science, est tout à fait raisonnable ; car c’est ainsi qu’il convient de procéder dans les sciences appliquant à l’analyse de la nature les démonstrations mathématiques, telles la perspective, l’astronomie, la mécanique, la musique, et d’autres encore, qui toutes confirment par des expériences judicieuses leurs principes, fondements de tout l’édifice ultérieur. Je ne voudrais donc pas que cela semble du temps perdu si nous consacrons une longue discussion à ce premier et décisif fondement sur lequel s’appuie l’immense machine des conclusions, infiniment nombreuses, dont notre Auteur au reste n’a donné qu’un petit nombre dans ce livre où il aura tant contribué à ouvrir une voie jusqu’ici fermée aux esprits spéculatifs. S’agissant donc des expériences, il n’a nullement négligé de les faire ; et afin de rendre certain que l’accélération des graves descendant naturellement s’opère bien selon la proportion énoncée plus haut, je me suis retrouvé plus d’une fois, en sa compagnie, à en établir la preuve de la façon suivante. Dans une règle, ou plus exactement un chevron de bois, long d’environ 12 coudées, large d’une demi-coudée et épais de 3 doigts, nous creusions un petit canal d’une largeur à peine supérieur à un doigt, et parfaitement rectiligne ; après l’avoir garni d’une feuille de parchemin bien lustrée par le rendre aussi glissant que possible, nous y laissions rouler une boule de bronze très dure, parfaitement arrondie et polie. Plaçant alors l’appareil dans une position inclinée, en élevant l’une de ses extrémités d’une coudée ou deux au-dessus de l’horizon, nous laissions, comme je l’ai dit, descendre la boule dans le canal, en notant, selon une manière que j’exposerai plus loin, le temps nécessaire à une descente complète ; l’expérience était recommencée plusieurs fois afin de déterminer exactement la durée du temps, mais sans que nous découvrîmes jamais de différence supérieure au dixième d’un battement de pouls. La mise en place et cette première mesure étant accomplies, nous faisions descendre la même boule sur le quart du canal seulement : le temps mesuré était toujours rigoureusement égal à la moitié du temps précédent. Nous faisions ensuite varier l’expérience, en comparant le temps requis pour parcourir la longueur entière du canal avec le temps requis pour parcourir sa moitié, ou les deux tiers, ou les trois quarts, ou toute autre fraction ; dans ces expériences répétées une bonne centaine de fois, nous avons toujours trouvé que les espaces parcourus étaient entre eux comme les carrés des temps, et cela quelle que soit l’inclinaison du plan, c’est-à-dire du canal, dans lequel on faisait descendre la boule. Nous avons aussi observé que les temps de descente, pour les différentes inclinaisons du plan, avaient exactement entre eux la proportion que l’Auteur, comme nous le verrons plus loin, avait prédite et démontrée. Pour mesurer le temps, nous prenions un grand seau rempli d’eau que nous attachions assez haut ; par un orifice étroit pratiqué dans son fond s’échappait un mince filet d’eau que l’on recueillait dans un petit récipient, tout le temps que la boule descendait dans le canal. Les quantités d’eau ainsi recueillies étaient à chaque fois pesées à l’aide d’une balance très sensible, et les différences et proportions entre les poids nous donnaient les différences et proportions entre les temps ; la précision était telle que, comme je l’ai dit, aucune discordance significative n’apparut jamais entre ces, maintes et maintes fois répétées.

Simplicio
J’aurais vraiment aimé assister à ces expériences ; mais comme je suis sûr du soin avec lequel vous les avez faites, et de la fidélité avec laquelle vous les rapportez, je me déclare satisfait et les tiens pour très certaines et vraies.
[Op. Cit. p. 143]

Quatrième journée

Salviati
… Quelles sont les propriétés du mouvement uniforme, ainsi que celles du mouvement naturellement accéléré sur des plans d’inclinaisons quelconques, tel fut l’objet de nos précédentes considérations. Dans la recherche que j’aborde à présent, je m’efforcerai de mettre en lumière et d’établir sur de fermes démonstrations certaines des conséquences particulièrement importantes et dignes d’être connues, qu’entraîne pour un mobile le fait d’être animé d’un double mouvement, à savoir un mouvement uniforme et un mouvement naturellement accéléré : car de ce genre paraît bien être le mouvement que nous attribuons aux projectiles. Quant à sa génération, je l’explique comme suit. J’imagine qu’un mobile a été lancé sur un plan horizontal d’où l’on a écarté tout obstacle ; il est déjà certain, d’après ce qu’on a dit ailleurs plus longuement, que son mouvement se poursuivra uniformément et éternellement sur ce même plan, pourvu qu’on le prolonge à l’infini. Supposons en revanche qu’il soit limité et à une certaine hauteur : le mobile que j’imagine doué de gravité, parvenu à l’extrémité du plan en continuant sa course, ajoutera à son précédent mouvement uniforme et indélébile la tendance vers le bas que lui confère sa gravité : le résultat sera ce mouvement composé d’un mouvement horizontal uniforme et d’un mouvement naturellement accéléré vers le bas que j’appelle projection. Nous démontrerons maintenant quelques-unes de ses propriétés, dont voici la première.

Théorème I – Proposition I
Un projectile qu’entraîne un mouvement composé d’un mouvement horizontal uniforme et d’un mouvement naturellement accéléré vers le bas, décrit au cours de son déplacement une trajectoire semi-parabolique.
[Op. Cit. p. 205]

Sagredo
On ne peut nier que le raisonnement soit nouveau, ingénieux et concluant ; il n’en procède pas moins ex suppositione, car il suppose que le mouvement transversal demeure toujours uniforme, que le mouvement vers le bas conserve de même son mode propre qui est d’accélérer constamment en proportion du carré des temps, enfin que ces mouvements et leurs vitesses, en se combinant, ne s’altèrent ni ne se gênent, en sorte que la trajectoire du projectile, tout au long du mouvement, ne subit aucune transformation de nature : or cela, à mon avis, est impossible. Car c’est un fait que l’axe de la parabole le long duquel nous admettons que s’effectue le mouvement naturel des graves, se termine, par suite de sa perpendicularité à l’horizon, au centre de la Terre ; et c’est un autre fait que la parabole s’écarte sans cesse de son axe ; aucun projectile ne devrait donc jamais se diriger vers le centre de la Terre, ou s’il le fait, comme cela semble nécessaire, alors sa trajectoire doit se transforment en une autre coure, fort différente d’une parabole.

Simplicio
A cette difficulté j’en ajoute d’autres, pour ma part. Nous supposons en effet, et c’est l’une des difficultés, qu’un plan horizontal, qui n’incline ni vers le haut ni vers le bas, est une ligne droite, comme si une telle ligne était, en toutes se parties, équidistante du centre ; or il n’en est rien, car si partant de son milieu on va vers ses extrémités, on s’éloignera de plus en plus du centre, s’élevant ainsi constamment : d’où il suit que sur un tel plan le mouvement ne saurait se conserver, qu’il ne saurait même y demeurer uniforme sur quelque distance que ce soit, et qu’il irait toujours en s’affaiblissant. En outre, il est à mon avis impossible de supprimer la résistance du milieu, au point qu’elle n’altère plus l’uniformité du mouvement transversal et la loi de l’accélération dans la chute libre. Toutes ces difficultés rendent ainsi très improbable que des résultats établis sur des suppositions aussi fragile puissent dans la pratique se révéler exacts.

Salviati
Les difficultés et les objections que vous venez de mettre en avant sont si bien fondées qu’il me paraît impossible de les écarter ; je les accepte donc toutes, pour ma part, comme notre Auteur lui-même, je le crois, les accepterait. J’accorde que les conclusions établies dans l’abstrait se modifient dans la réalité, et se montrent à ce point inexactes que ni le mouvement transversal ne peut être uniforme, ni l’accélération naturelle s’effectuer selon la proportion admise, ni la trajectoire d’un projectile avoir la forme d’une parabole. D’un autre côté, cependant, je vous demande de ne pas refuser à notre Auteur ce que d’autres grands hommes ont admis, même si cela n’était pas exact. A elle seule l’autorité d’Archimède peut apaiser tout un chacun ; dans ses Mécaniques et dans sa première Quadrature de la parabole, en effet, il prend comme un principe certain que le fléau de la balance ou du peson représente une ligne droite dont chaque point est équidistant du centre commun des graves, puis que les cordes auxquelles les corps pesants sont suspendus sont parallèles entre elles. Or, certains excusent cette licence en considérant que dans la pratique nos instruments et les longueurs mises en cause sont si petits en comparaison de la distance considérable qui nous sépare du centre du globe, que nous pouvons, à bon droit, assimiler une minute de degré prise sur le plus grand cercle à une ligne droite, et deux perpendiculaires, abaissées par ses extrémités, à deux parallèles. Car si dans la pratique on devait tenir compte de tels détails, on devrait commencer par reprendre les architectes lorsqu’ils croient, avec un fil à plomb, élever de hautes tours avec des côtés parallèles. J’ajoute d’ailleurs qu’Archimède et les autres supposaient dans leurs recherches qu’ils étaient infiniment éloignés du centre, auquel cas leurs conventions étaient exactes, et leurs démonstrations parfaitement concluantes. Quand donc nous voulons appliquer, dans le cadre de distances finies, des conclusions établies dans l’hypothèse de distances immensément grandes, nous devons retrancher de la vérité démontrée une quantité correspondant au fait que notre éloignement du centre n’est pas vraiment infini, mais seulement tel qu’on peut l’appeler immense, comparé à la faiblesse de nos moyens techniques : le tir des projectiles constitue le plus important, et encore s’agit seulement de l’artillerie, dont la portée, pour grande qu’elle soit, n’excédera pas quatre de ces milles dont tant de milliers nous séparent du centre ; et comme les trajectoires des projectiles vont s’achever à la surface du globe terrestre, elles ne modifieront que peu leur forme parabolique, qui, je le concède, subirait de grandes transformations au cas où elles se termineraient au centre de la Terre. Quant à la perturbation due à la résistance du milieu, elle est plus importante, et il est impossible, en raison des formes variées qu’elle revêt, de la soumettre à des règles fixes, et d’en faire la science ; … Maintenant, en prenant un peu plus de liberté, je peux vous montre, au moyen de deux expériences, que la faiblesse de nos moyens techniques rend très peu sensibles ces résistances externes et accidentelles, dont celle du milieu est la plus importante. Je considérerai les mouvements qui s’accomplissent dans l’air, car ceux dont nous parlons sont avant tout de ce type ; contre eux l’air manifeste de deux façons sa force propre : d’abord en gênant davantage les mobiles moins pesants que les mobiles très pesants ; ensuite en offrant davantage de résistance à une vitesse plus grande qu’à une vitesse moins grande du même mobile. Quant au premier point, l’expérience nous montre que deux boules de même grandeur, mais dont l’une est 10 à 12 fois plus pesante que l’autre, (l’une étant, par exemple, en plomb, et l’autre en bois de chêne), et qui tombent d’une hauteur de 150 à 200 coudées, touchent terre avec des vitesses très peut différentes ; ainsi sommes-nous assurés que la résistance et le ralentissement imputables à l’air dans les deux cas sont peu de chose, car si la boule de plomb, en partant au même moment que la boule de bois, était peu ralentie, et celles-ci fortement, elle devrait, en atteignant le sol, posséder une avance considérable, étant dix fois plus pesante. En fait rien de tel ne se produit, et l’avance gagnée ne représentera même pas la centième partie de la distance parcourue … nous pouvons sans erreur notable établir et regarder comme absolument vraies les proportions qui se démontreront sans tenir compte de l’effet du milieu.
[Op. Cit. p. 210]

Jean-François Consigli